قانون الفرق بين مربعين في الرياضيات

[حلا ليالي]

يُعرف المربع بأنه شكل هندسي أضلاعه ذات أطوال متساوية، ويتم حساب مساحته من خلال ضرب الضلع في نفسه، فمثلاً إذا كان طول الضلع س سم فإن مساحته تساوي س × س والناتج يكون س²، ونفس الأمر يحدث مع مربع طول ضلعه ص، فتكون مساحته ص² .

قانون الفرق بين مربعين
إذا أردت معرفة الفرق بين مربعين، أي مثلاً الفرق بين مساحة مربع طول ضلعه س، ومربع آخر طول ضلعه ص، فإن قانون حساب هذا الفرق هو : س² – ص²= ( س – ص ) ( س + ص ) .

تحليل الفرق بين مربعين
يرمز القانون السابق لإحدى صيغ المعادلة التربيعية أو المعادلة ذات الدرجة الثانية، فهو يتشكل من حدين مربعين، وأحد هذين الحدين مطروح من الآخر، وهو يساوي الفرق بين الحدين مضروبًا في مجموعهما، ولكن يجب أن يتم مراعاة الترتيب في تلك الحدود، بمعنى أنه يجب أن يتم الحصول على حاصل ضرب ( الحد الأول – الحد الثاني ) في ( الحد الأول + الحد الثاني ) .

خطوات تحليل الفرق بين مربعين
لكي يتم تحليل الفرق بين مربعين إلى عوامله، فمن الضروري أن تم التأكد من أن المقدار تتم كتابته على صورة س²- ص²، وبعد ذلك يتم التحليل باتباع الخطوات التالية :

اولاً : فتح قوسين يرمزان إلى علاقة الضرب بينهما ويكونان بهذا الشكل ( ) ( ) .
ثانيًا : القوس الأول يشتمل على إشارة الجمع، أما القوس الثاني يشتمل على إشارة الطرح بهذا الشكل ( + ) ( – ) .

ثالثًا : يتم كتابة الحد الأول في كلا القوسين وذلك قبل أن يتم كتابة إشارات الجمع والطرح كما يلي ( س + ) ( س – ) .

رابعًا : يتم كتابة الحد الثاني في كلا القوسين بعد وضع إشارات الجمع والطرح كما يلي ( س + ص ) ( س – ص ) .

خامسًا : يصبح الشكل النهائي للقانون هو : س²- ص²= (س + ص) ( س – ص )، والذي يعبر عن مربع الحد الأول – مربع الحد الثاني = ( الحد الأول – الحد الثاني ) ( الحد الأول – الحد الثاني ) .

أمثلة على تحليل الفرق بين مربعين
– حلل المقدار التالي إلى عوامله الأولية : 4ع² – 9 .

في هذا المثال نجد أن الحد الأول 4ع ² هو مربع كامل وهو عبارة عن 2ع ×2ع، أما الحد الثاني فهو 9 وهو أيضًا مربع كامل يتشكل من 3 × 3، وبما أن الإشارة بين الحدين هي إشارة الطرح ، فهي على صورة الفرق بين مربعين 4ع ² – 9 = ( 2ع )² – ²3، وعند تحليل المقدار يصبح ( 2ع )²- ²3 = ( 2ع – 3 ) ( 2ع + 3 ) .

– حلل هذا المقدار الجبري إلى عوامله الأولية : س2 – 16

في هذا المثال نجد أن الحد الأول هو س2 وهو عبارة عن مربع كامل يتشكل من س × س، أما الحد الثاني هو 16، وهو أيضًا يتشكل من مربع كامل وهو 4 × 4، ونجد أن الإشارة بين الحدين هي إشارة طرح، وهذا يعني أن أنها على صورة فرق بين مربعين، فيصبح الحل س2 – 16 = س2 – ²4، وعند تحليل المقدار يصبح س ² – ²4 = ( س – 4 ) ( س + 4 ) .